２０２２年２月２８日

２０２２年２月２８日　（ハイパー神商）

集合には、境界が単純な開集合や閉集合なんてものもありますが。
（距離位相が入るレベルです。）
境界がギザギザした集合も多いのよ。
しかし、欠落関数は格が違うの。
なにせ、枠外概念ですから。
離散関数は枠内ですが、欠落関数は枠外。
この意味を悟らせるため。
「非連続関数　ｖｓ　離散関数　ｖｓ　欠落関数」
の観点から脳タリン猿を鍛えておくと。 

少し、理論的な欠落関数の具体例として。
「ｘ軸上、各自然数ごとに、その点でのｙ座標が欠けている関数」
なんてのは、どうかな？
リーマン向けには、
「各素数ごとに、その点のｙ座標が欠けている」
とか。
こういうのは、一見、非連続関数に見えますが。
残念ながら欠落関数です。
定義により、離散関数ですらないのよ。 

このレベルなら、まだピンと来ないでしょうが。
「有理数全体で対応ｙ座標が欠ける。」
欠落関数とか。
この辺りまでは、ｙ座標が０の非連続関数として近似的に扱えると思うカモ。
しかし、
「無理数全体で対応ｙ座標が欠ける。」
欠落関数になると。
アルゴリズム猿や近似猿には、どうしようもなくなるでしょう。 

これを、ｙ座標０の非連続関数と思うと、
「有理数　ｖｓ　無理数」
の濃度が関連してきて。
多数派の無理数が勝ち。
ｙ座標０の恒等関数に近似されます。
これじゃ、近似関数として駄目でしょう。
どうですか、こういう関数が有り得るのですよ。   

注意：
数学的にはフーリエ級数（での近似）なんてものがあるため。
「何でもかんでも、ｓｉｎ（ｘ）・ｃｏｓ（ｘ）の周波数波に分解表現可能」
なんて考える猿も多いらしいけど。
非連続関数はフーリエ級数表現の対象外ですよ。
但し、アルゴリズム（計算）猿の方は近似が得意で。
特に、デジタル世界で有限要素法なんてのが幅を利かすと。
少々の非連続関数もフーリエ級数で近似表現したくなるの。

すでに高校数学の段階で出現する非連続関数は多いですが。
普通の非連続性と毛色が変わっているのが超関数。
この場合の“超”には２種類あって。
フーリエ級数系では
「generalized　function」
の日本語訳ですよ。
これの見本にδ関数なんてものがある。
私だけに知力が１点に無限集中して、残りの猿は、全部、知力０とか。
それでも、積分すると１になるところが面白い。  

他方は佐藤の超関数なんかで。
これは
「hyper function」
の日本語訳。
このように紛らわしいのよ、日本語訳は。
ま、両者、関連してますがね。 

ちなみに、この文脈で登場する関数の“連続性”ですが。
実数の稠密性経由で、実数濃度の課題に直結してきます。
ここいらまで来ると、連続体仮説なんて、独立の扉が見え始めるというシナリオ。
実数濃度の計測結果が、何故、独立かという本質に関係するの。
強制法ベースの独立性証明が正しければですが・・・。   　　┤

一方、欠落関数を離散関数で近似できるか？
やはり無理ですね。
「ｘ座標無し　ｖｓ　ｙ座標不明」
の差です。
関数としてのセマンティクスが違うのよ。
離散関数として把握したら、
「ｙ座標不明」
というセマンティクスが消えてなくなる運命。
この導入部から、本論に入ります。
今回は、前回からの続きです。

欠落関数により、全く新しい集合が登場するわけですが。
果たして、これは、数学の対象なのか？
近似の意味で、
「離散関数ですらフーリエ級数近似する。」
と言い出してますから。
「欠落関数もフーリエ級数近似できるはず。」
こう考えるカモ。

現状維持派の惨めさの見本ですね。
そういう旧来の古い思考法が進化の邪魔になるとも知らずに。
「欠落関数はフーリエ級数で近似表現可能か？」
という問いは、かみまでも、
「どこまで、セマンティクスを保護するか？」
の課題です。 

欠落関数という、史上初の重要概念を猿に提示してあげたのですが。
これは、通常の集合論の枠からはみ出た概念です。
曖昧さ、漠然性を取り入れた集合。
これを関数と呼びたくなければ、私が固有名詞を付けましょうか。
「■集合」
とか。
しかし、やはり、関数を意識して、欠落関数で行きましょう。
δ関数や超関数なんかとは本質的に違う概念として対比させるためです。 

こういう記号を導入しても拡張Δ理論
Δ（■）
が定義でき、計算可能になります。
どうじゃ、悔しいか、ＺＦ猿。
Δ理論の凄さが判ってきたかな。
但し、■ は通常の集合論、つまり数学の枠外概念なので。
これを、どう扱うかという課題は残ります。
それこそが、本質なのですよ。
なにせ、集合論的観測問題ですから。