２０２４年１１月２８日 （ハイパー神商）
前回、
「量子論ごときは、Ｂ（ｎ）モデル解釈で把握できる。」
と述べておきました。
この為には、（測度結果としての）実数値の
「全順序（直線順序の大小）」
もＢ（ｎ）値解釈する必要があります。
（これが出来れば、複素数なんぞチョロい。）
これについては、私がすでに専門誌に論文発表しておいたので。
自分で苦労して検索して見ておいてください。
もう親切にリンクは張りません。
その前の段階として、そもそも、
「実数」
なるものが、如何なる実在なのかをキチンと把握する必要があります。
従来のダサい
「デデキント切断」
じゃグロテスクで本質が掴めないのですよ。
これに関して、私が、すでに
「実数のＢ（ω）モデル」
というものを提唱しておきました。
Ｂ（ω）は次数が可算無限ωのブール代数ですが。
通常のブール代数の演算は全て適用でき。
ブール代数としての
「大小（グラフ表現の上下）」
順序もキチンと定義できます。
何故、Ｂ（ω）を考えるかというと。
私の実数モデル発表当時、すでに、
「自然数Ｎ（集合ではω）の冪集合」
つまり、
「２のω乗」
を実数と把握する解釈があったので。
そのまま、素直に採用したモデル化です。
どうするかと言うと。
区間
［０,１］
を実数モデル化すれば、実数全体がモデル化できるわけですが。
任意のｒ∈［０,１］に対し。
２進法で
ｒ＝０.i１i２i３・・・ （ｉｎ∈｛１,０｝）
と考えて、無限リスト
（i１,i２,i３,・・・）・・・（Ｂ）
を対応させます。
これで［０,１］のＢ（ω）解釈が可能になる準備ができました。
というわけで、実数の定義ですが。
Ｂ（ω）の要素（Ｂ）に対し、ブール代数順序とは別に
「辞書式順序＜」
というものを定義できます。
これが、実数の大小順序に対応します。
但し、この程度では、まだ実数の定義になっていませんよ。
［０,１］をＢ（ω）解釈するには、以下のような追加性質が必須です。
「（１,０,０,０,０・・・）ｖｓ（０,１,１,１,１・・・）」
は辞書式順序においては
（１,０,０,０,０・・・）＞（０,１,１,１,１・・・）
なのですが。
実数の場合、例外的に
（１,０,０,０,０・・・）＝（０,１,１,１,１・・・）・・・（実等）
と見做すわけです。
これを、どう処理するか？
Ｂ（ω）的には同値類≣で処理するのですよ。
つまり、実数のＢ（ω）モデルとは、
Ｂ（ω）に辞書式順序を定義し。
更に、特殊同値類≣で類別した
Ｂ（ω）/≣
ということになります。
これが私のＢ（ω）モデル。
この
「同値類順序」
でも、実数の基本性質
（∀ｒ１＜∀ｒ２）（∃ｒ３）（ｒ１＜ｒ３＜ｒ２）
程度のことは自然に成立し。
関数ｆ（ｘ）に対する連続性の定義なんかも自然に納得できます。
エレガントとは、こういうモデルのこと。
２０００年になる前の段階で発表したのですが。
当時は、その真意というか、重要性が把握できなかった模様。
査読者は内容が常識の部類だと思ったらしい。
だから、論文査読に落ちたのですが。
フフン、青いわ。
猿ごときが神の論文を落とすと。
私は臍を曲げて、逆に、発表しなくなるの。
それどころか、査読結果の返事が遅いと。
投稿を取り下げて隠すの。
これが猿に対する神の実力行使。
その繰り返しで、ここまできたわけです。
そのくらい貴重な内容だと私には判っているのですが。
哀れな猿には、その価値が理解できない。
（その見本がWikipedia。）
ただ、そろそろ、公表する頃合いでしょう。
ここでの発表なら著作権設定できてビジネスにもなるし。
というわけで、何が新発見なのか？
以下のような論点です。
このモデルでは殆どの同値類は要素が１個だけですが。
（実等）の場合、所属要素は２個ですね。
この場合、代表元として、左辺の
（１,０,０,０,０・・・）
の方を選びます。
ここまでは、ハシコイ猿なら考え付くわけで。
だから、査読に落ちたのでしょうが。
フッ、それが猿の知能限界の露呈だったとも知らずに。
ここからです、ホンモノの味わいは。
この種の２要素同値類も至るところに登場するので。
以後、便宜上、（実等）の左辺のタイプを
「０型」
と呼び、右辺のタイプを
「１型」
と呼ぶことにします。
さて、有理数と違う実数の最大の特徴は？
非可算になるというのが核心利益。
その証明に対角線論法を使いますね。
どうなるかというと。
実数を可算と仮定して、実数（対応リスト）全体
｛（i１,i２,i３,・・・）｜iｎ∈｛１,０｝｝
をズラッと縦１列に並べたいわけですが。
この際、同値類は０型代表元を選びます。
よって、正確には
｛（i１,i２,i３,・・・）｜Ｂ（ω）/≣ の代表元｝・・・（i）
です。
「この（i）の対角線上に出現する
（iｊ１,iｊ２,iｊ３,・・・）
に対し。
iｋｎ＝１ if iｊｎ＝０
iｋｎ＝０ if iｊｎ＝１ ・・・（ｊ）
として
（iｋ１,iｋ２,iｋ３,・・・）・・・（ｋ）
を生成すると。
結果の（ｋ）は集合（i）には属さない新登場の要素になる。」
と、まあ、こうやって、非可算性を証明するわけですが。
残念ながら、このままでは間違いですよ、この証明法は。
何故か判るかな？
ここで、上の≣が干渉するのよ。
新規生成された結果の（ｋ）は（i）の要素にはなりませんが。
（i）の要素と≣同値になる可能性が残るからです。
これを、どう回避するか？
簡単です。
２進法だから、そういうことが起き得るわけで。
１０進法採用して。
同じようにモデル化すると。
２要素同値類は
「０型 ｖｓ ９型」
となりますが。
ここでも代表元を０型とします。
この準備の下、０も偶数に類別し。
iｋｎ＝３ if iｊｎは偶数
iｋｎ＝２ if iｊｎは奇数 ・・・（ｊ）
として
（iｋ１,iｋ２,iｋ３,・・・）・・・（ｋ）
を生成するとＯＫ宇宙。
だから、対角線論法は生き残るわけですが。
ここからが大事。
上で何を論証したのか？
実数の場合、
「１０進法基準では通用した
『対角線論法』
が２進法基準では通用しなくなる。」
という事実を証明したのですよ。
証明法の大筋が原理上駄目になるのです。
これこそが、
「実数の人生モデル」
の格真利益です。
Ｂ（ω）状況の場合、細部の微調整では、どうにもならないの。
「状況を自然数（１０進法）に変える」
レベルの変革が必要。
状況依存性のサンプルになるというシナリオ。
この変革を発見できれば対角線論法は復活できるのですが。
それでも、Ｂ（ω）状況では駄目だという事実は残るのよ。
当時の猿には、こういう史上初の真理が悟れなかった模様。
人類で一番重要な論点なのに。
情報を追加してやらないと、理解できないレベルの脳。
今回の行間説明で御利益を得たはず。
で、ここから一番重要な話になります。
上の例では、状況を変えて対角線論法の証明は復活できました。
しかし、猿には、
「Ｂ（ω）状況」
での証明が間違っていると分からないカモ。
実際、２進法ベースの対角線論法が間違いだと気付いた猿はいたのかな？
当時、流行の
「実数＝自然数の冪集合（モデル）」
では、誰も間違っていると指摘してなかったけど・・・。
これは、先に素朴に（大雑把に）１０進法で考えて。
大丈夫だと思い。
そのまま、２進法でも通用すると思ったからでしょう。
しかし、通用しないのよ。
つまり、一般的な成功事例が先にあり。
その一般的な成功体験を手に入れたあと。
特殊事例を考え、成果を適用した場合。
「一般の理論Ｔでの成功が特殊な例では失敗する。」・・・（汎特）
というサンプルです。
これをＢ値モデルの欠点と都合良く解釈しないように。
（汎特）の御利益が理解できないのか。
「２進法 ｖｓ １０進法」
の差問題ですよ。
「Ｂ値 ｖｓ 実数」
の対比で類推を働かせると
「自然数 ｖｓ 抽象集合」
程度の波及効果というか、干渉具合は把握できるはず。
ここに、相応の状況依存性が出現していると分かってないと。
証明の正しさは保証できない。
どうじゃ、具体化のレベルの違いが判るかな。
漠然脳は
「具体例の抽象化」
で一般理論を開発し。
抽象理論の結果利用で具体例も乗り切った気分になるのですが。
それが通用しないサンプルですよ。
こういう知見を
１見１０知１００考１０００創１００００得
といいます。
どうじゃ気分は、難問解決猿よ。
というか、一般の数学者や物理学者よ。
従来の世界観がひっくり返っただろうが。
この経済波及効果で１００兆円追加ね。
これで３７０町目。